用歐拉公式證明和角公式

歐拉公式：

$$ e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta $$

可以利用：

$$ e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta} $$

左邊可以寫成：

$$ e^{i(\alpha+\beta)}=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) $$

右邊：

$$ e^{i\alpha}e^{i\beta}=(\cos \alpha+i\sin \alpha)(\cos\beta +i\sin\beta) $$

展開得：

$$ (\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta) $$

藉由比較實部與虛部可得：

$$ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta $$

以及：

$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta $$

$\tan(\alpha+\beta)$ 可由 $\sin(\alpha+\beta)/\cos(\alpha+\beta)$ 得到，可以分子分母同除 $\cos\alpha\cos\beta$：

$$ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} $$