導數的定義

直觀上，一元函數的導數就是其圖形切線的斜率。

$$ f'(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

可以這麼理解：（這裡我們用 $\Delta x$ 代替 $h$ ）

$$ \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} $$

這裡也可以引出 $f$ 的微分 $\mathrm{d}f$

$$ \mathrm{d}f=f'(x)\mathrm{d}x $$

從導數的定義出發可以得到各種運算規則，下面列出（不一定很嚴謹的）證明過程，公式總結見導數的運算法則。
這些證明過程的前提都是各項的極限值存在，才可以拆來拆去。

加法（減法同理）

$$ \begin{aligned} (f+g)'&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &=f'+g' \end{aligned} $$

乘法

$$ \begin{aligned} (fg)'&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+\lim_{h\rightarrow0}f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &=f'g+fg' \end{aligned} $$

函數複合（鏈鎖律 Chain Rule）

$$ \begin{aligned} (f\circ g)'&=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\\ \end{aligned} $$

這一步可以想成

$$ \lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta f}{\Delta g}\cdot\frac{\Delta g}{\Delta x} $$

取極限之後便是

$$ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}\cdot\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x} $$

或是寫成

$$ f'(g(x))g'(x) $$